平地上有一条水沟，沟沿是两条长100主的平行线段，沟宽AB为2米，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5米，沟中水深1米。
(1)求水面宽；
(2)如图1所示形状的几何体称为柱体。已知柱体的体积为底面积乘以高，问沟中的水有多少立方米？

(3)若要把这条水沟改挖(不准填土)成截面为等腰梯形的沟，使沟的底面与地面平行，则改挖后的沟底宽为多少米时，所挖的土最少？
解：(1)如图，建立直角坐标系，设抛物线的方程为y＝ax²，则由抛物线过点(1，)得a＝，于是抛物线方程为y＝x²

当y＝1时，x＝±，由此知水面宽为米。　　
　　(2)水的体积V＝2·100·(1－x²)dx＝
　　故沟中有水立方米。
　　(3)为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须同抛物线相切，设切点P(t，t²)(0＜t≤1)是抛物线　OB上的一点，过P作抛物线的切点得如图所示的直角梯形OCDE，则切线CD的方程为： 　y＝3t(x－t)＋t²＝3tx－t²于是C(t，c)，D((t＋)，)记梯形OCDE的面积为S，
则S＝(t＋)，0＜t≤1当t＝时，S取到最小值，此时所挖的土最少。因此，当所挖的土最少时，改挖后的沟底宽为米。
　　1999年全国高考数学试卷第22题也是一道应用题，由于脱离了目前中学实际，学生缺乏感性知识，对其应用背景生疏，因而建模难，试卷上示意图中轧辊怎么转，钢板怎么压簿，没有亲眼见过，故有相当多的师生说弄不懂题意造成的得分率低，相比之下，上海的这道应用题就显得更加成熟，贴近生活，设过有梯度，起点不高容易入手，其中第(1)小题源于教材，通过建立坐标系求得抛物线方程，一般容易得分。 第(2)小题是简单的阅读理解型题，利用定积分知识也不难得分，关键是第(3)小题，设计新颖、富于探索性，需要考查的能力至少包括情境语言与数学语言的转化能力；对具体材料进行数学抽象的能力；实际问题与数学建模的转化能力。

　　“挖的土最少”的数字含意是什么？

显然凭直觉或经验易知，截面两腰必须与抛物线相切，但其切线方程如何探索？利用已知的切线方程公式还是利用导数知识求得经过切点P(t，3t2/2)的切线的方程，完成这一步之后，下一步就必须考虑，要使“挖的土最少”是求等价于图(2)所示的直角梯形OCDE的最小面积，还是求等价于图(2)所示的阴影部分的最小面积，哪一种等价转换更有利于解题呢？显然是前者，同为前者的面积函数容易建立，而后者的面积函数的建立则需用到定积分知识，难度较大，此上这诸多方面,都从不同角度考查了学生的应变能力，分析、解决实际问题的能力，更失为考查能力的一道好题。

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