四、其它问题
例7．某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当的范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设
　　 淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当8≤x≤14时,淡水鱼的市场
　　 日供应量P千克与市场日供应量Q千克挖地满足关系：
　　 P＝1000(x＋t－8)(x≥8,t≥0)，Q＝500 (8≤x≤14)，当P＝Q时的市场价格称为市场
　　 平衡价格。
　　 (1)将市场平衡价格表示为政府被贴的函数，并求出函数的定义域。
　　 (2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？(1995年高考试题)
解：(1)依题意有1000(x＋t－8)＝500
　　　 化简得5x²＋(8t－80)x＋(4x²＋64x＋280)＝0，当△＝800－16t²≥0时，
　　　 x＝8－4t/5± 2/5由△≥0，t≥0，8≤x≤14解得等式组：

①	{	0≤t≤
		8≤8－4t/5＋2/5≤14

②	{	0≤t≤
		8≤8－4t/5－2/5≤14

　　　 解①得0≤t≤，不等式组②无解，故所求的函数关系式为x＝8－4t/5＋2/5, 其定义
　　　 域为[0，10]
　　(2)为使x≤10，应有8－4t/5＋2/5≤10，化简得t²＋4t－5≥0
　　　 解得t≥1或t≤－5由于t≥0，知t≥1，从而政府补贴至少每4克/元。
例8．某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22％,人均粮食占有量比现在提高10％，如
　　 果人口增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)？
　　 (粮食单产＝总产量/耕地面积，人均粮食占有量＝总产量/总人口数)(96年高考试题)
解：设耕地平均每年至多只能减少x公顷，又设该地区现有人口为P人，粮食单产为M吨/公顷,依题意得不等
　　式：[M×(1＋22％)×(10⁴－10x)]/[P×(1＋10％)¹⁰]≥M×10⁴/P×(1＋10％)
　　化简得x≤10³×[1－1.1×(1＋0.01)¹⁰/1.2^2]
　　∵ 10³×[1－1.1×(1＋0.01)¹⁰/1.2^2]＝10³×[1－1.1/1.22(1＋×0.01＋×0.01²＋……)]
　　　 ＝10³×[1－1.1/1.22×1.1045]≈4.1　
　　∴ x≤4(公顷)
答：按夫划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷。
练习：
1．甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/时，已知汽车每小时的运输
　 成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为
　 b；固定部分为a元。
　(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；
　(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多在速度行驶？
解：(1)全程运输成本＝单位时间运输成本×全程运输时间，而全程运输时间＝愈来愈程距离/平均速度
　　　 ∴ 依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为S/V，全程运输为：
　　　　　y＝a(S/v)＋bV²(S/V)＝S(a/v＋bv)
　　　 故所求函数及定义域为y＝S(a/v＋bv)，v∈(0，C]
　　(2)依题意知S、a、b、v都是正数，故有S(a/v＋bv)≥2S，当且仅当a/v＝bv即v＝时
　　　 上式中等号成立。
　　　 若≤C，则当v＝时，全程运输成本量小；当＞C时,设0＜v₁＜v₂＜,
　　　 有：
　　　 S(a/v₁＋bv₁)－S(a/v₂＋bv₂)＝S[(a/v₁－a/v₂)＋(bv₁－bv₂)]＝S[(v₂－v₁)(a－bv₁v₂)/v₁v₂](*)
　　　 由0＜v₁＜v₂＜，得v₂－v₂＞0，且v₁v₂＜a/bbv₁v₂＜aa－bv₁v₂＞0
　　　 所以有(*)式＞0，即y＝S(a/v＋bv)，v∈(0，C]在区间(0,)上是减函数，则当c＜时,
　　　 函数y＝S(a/v＋bv)，v∈(0，C]在v＝c时取得最小值。
　　　 即当v＝c时，全程运输成本y最小。
　　　 综上可知,为使全程运输成本最小,当/b≤c时，行驶速度应为v＝/b，当/b＞C时,
　　　 行驶速度应为v＝C。
2．用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元，购减买当天选付150元，以后每月这一天都支付
　 50元，并加付欠款的利息，月利率为1％，交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月,问分
　 期付款的第十个月交付多少钱？全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？
解：购关头时付出150元后，余欠款1000元，按题意应分为20次付清,设每次交付欠款的钱数依次构成数列
　　{a_n}，则
　　a₁＝50＋1000×0.01＝60，a₂＝50＋(1000－50)×0.01＝60－50×0.01＝59.5
　　a₃＝50＋(1000－2×50)×0.01＝60－2×50×0.01＝59　　……
　　a_n＝50＋[1000(n－1)×50]×0.01＝60－(n－1)×0.5
　　∴ {a_n}是以60为首项，－0.5为公差的等差数列
　　∴ a₁₀＝60－9×0.5＝55.5
　　20次分期付款总和S₂₀＝[60＋(60－19×0.5)]×20/20＝1105，1105＋150＝1255(元)
答：第10个月应该交付55.5元，全部付清后实际共付款额1255元
3．要挖一个面积为432m²的矩形鱼池，周围两侧分别有宽为3m和4m的堤堰要想占地总面积最小，问鱼池的
　 长和宽各应为多少？
解：设鱼池的长和宽分别为x和y占地决面积为S，则xy＝432
　　∴ S＝(x＋8)(y＋6)＝xy＋6x＋8y＋48＝6x＋8y＋480≥2＋480＝768
　　当且仅当6x＝8y时，S_最小＝768

答：鱼池的长和宽应分别为24m和18m。
4．某种消费品每件60元，不收附加税时，每年大约销售80万件，若政府片收附加税时，每销售100元要片
　 税R元(叫做税率R％)，则每年销售量将减少20R/3万件，要使每年在此项经营中所取税金不少于128元，
　 问税率R％应在什么范围？当税率R％为多少时，所收取税金最多？最金税金为多少？
解：依题意，税金＝销售商品件数×每件商品的单价×税率
　　设税金为y，则y＝60×(80－20R/3)×R％≥128
　　∴ 48R－4R²≥128，解得4≤R≤8
　　又∵ y＝60(80－20R/3)×R％＝48R－4R²＝－4(R－6)²＋144
　　∴ y_max＝144，此时R＝6，要使税金不少于128元，税率范围在4％－8％之间，当税金为6％时所收税
　　金最多。
5．某企业进行技术改造，提出两种方案，甲方案是：一次性投资80万元引进一条先进的生产线,每年均可
　 增加20万元；乙方案是：一次性投资60万元，改进现有设备，每年均可减少成本18万元(减少成本开支
　 相当于增加收入)资金往来都通过银行结算，银行进出款的年利率都是5％,如果甲乙两种方案同时开始
　 实施，实际年限都是10年，问实施哪种方案所获得净收益较高？
　 注：1．甲方案施一年后见效益，乙方案实施就见效益。
　　　 2．净收益＝累计增加的总收入(或累计减少的成本总开支)减去原投资额(均计利息)。
　　　 3．必要时可参考以下数据：1.05％≈1.55，1.05¹⁰≈1.63，1.05¹¹≈1.71
解：设甲方案得到的净收益是S_甲，乙方案得到的净收益是S_乙，则：
　　S_甲＝20×(1＋1.05＋1.05²＋…＋1.05⁹)－80×1.05¹⁰＝20×1(1.05¹⁰－1)/(1.05－1)－80×1.05¹⁰
　　　 ＝20×(1.63－1)/0.05－80×1．63＝400×0.63－130.4＝252－130.4＝121.60(万元)
　　S_乙＝18×(1.05＋1.05²＋…＋1.05¹⁰)－60×1.05¹⁰
　　　 ＝18×[1.05(1.05¹⁰－1)/(1.05－1)]－60×1.05¹⁰＝18×[1.05(1.63－1)/0.05]－60×1.63
　　　 ＝360×1.05×0.63－97.8＝238.14－97.8＝140.34(万元)
　　所以甲方案净收益为121.60万元，乙方案净收益为140.34万元，实施乙方案所获的净收益较高。
注：从前述例题和练习不难总结出解应用题的一般步骤为：
　　1．认真读题目、深刻理解题意，了解问题的实际背景，把握问题的数学本质。
　　2．建立数学横型：具体分析问题中的数量关系，根据题目特点,建立能正确反映原问题实质的数学模
　　　 型，将应用问题转化为数学问题。
　　3．运用数学知识和方法解决上述数学问题，检验结果的实际意义，作出答案。

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