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1999年高考(理)第23题：
已知函数y＝f(x)的图象是自原点出发的一条新线，当n≤y≤n＋1(n＝0，1，2，…)时，该图象是斜率
为bn的线段(其中正常b≠1)，设数列{xn}由f(xn)＝n(n＝1，2…)定义。
(Ⅰ)求x1、x2和xn数的表达式；
(Ⅱ)求f(x)的表达式，并写出其定义域；
(Ⅲ)证明：y＝f(x)的图象与y＝x的图象没有横坐标大于1的交点。
这是本年度试卷中难度最大的一道试题，它考查了函数的基本概念、等比数列数列极限的基础知识,以及归纳、推理和综合的能力，能较好地检测考生的学习潜能。
理解题意是本题的难点，第①问求x的有达式，必须了解xn的含义，在阅读题目后，关键要能明了函数y＝f(x)的图象,了解其变化趋势，(分为0＜b＜1与b＞1两种情况)最终理解函数y＝f(x)的图象与直线y＝n的交点的横坐标即xn，为了进行探索，不妨令n＝0，n＝1，n＝2…从个别到一般逐步归纳：
n＝0时，在y＝0到y＝1这一带状区域内，y＝f(x)的图象是从原点出发的一条线段，斜率为b0＝1,这条线段与直线y＝1的交点的横坐标是x1；n＝1时,在y＝1到y＝2这个带状区域内，y＝f(x)的图象是从点p1(x1，1)出发的线段,斜率为b1＝b,这条线段与直线y＝2的交点为p2(x2，2)…一般来说在y＝n到y＝n＋1这个带状区域内，y＝f(x)的图象是从点pn(xn，n)出发的线段，斜率为bn。这样，当b＞1时，y＝f(x)的图象逐渐“拐向y轴”的折线；当0＜b＜1时，y＝f(x)的图象是逐渐“拐向x轴”的折线,它们与直线y＝x只有一段公共部分(0≤x≤1)，这样第③问的结果从图象上看就是很清楚的了。
当然，要想顺利解答此题，还得有扎实的基本技能和较强的思维灵活性,下面是此题的解答，看后自可领悟。
解：(Ⅰ)依题意f(0)＝0，又由f(x1)＝1，当0≤y≤1时，
函数y＝f(x)的图象是斜率为b0＝1的线段，故由
[f(x1)－f(0)]/(x1－0)＝1 得x1＝1
又由f(x2)＝2，当1≤y≤2时，函数y＝f(x)的图象是斜率为b的线段，故由
[f(x2)－f(x1)]/[x2－x1]＝b 即
x2－x1＝1/b得x2＝1＋1/b
记x0＝0,由函数y＝f(x)的图象中n段线段的斜率为bn－1，故得：[f(xn)－f(xn－1)]/(xn－xn－1)＝bn－1 又f(xn)＝n，f(xn－1)＝n－1
∴ xn－xn－1＝(1/b)n－1，n＝1，2，…
由此知数列|xn－xn－1|为等比数列，其首项为1，公比为1/b。
因b≠1，得：
xn＝ (xk－xk－1)＝1＋1/b＋…1/bn－1＝[b－(1/b)n－1]/(b－1) 即：
xn＝[b－(1/b)n－1]/(b－1)
(Ⅱ)当0≤y≤1时，从(Ⅰ)可知y＝x,即当0≤x≤1时,f(x)＝x，当n≤y≤n＋1时,即当xn≤x≤xn＋1时，由(Ⅰ)可知
f(x)＝n＋bn(x－xn)(xn≤x≤xn＋1，n＝1，2，3，…)
为求函数f(x)的定义域，须对xn＝[b－(1/b)n－1]/(b－1)(n＝1，2，3…)进行讨论
当b＞1时， xn＝[b－(1/b)n－1]/(b－1)＝b/(b－1)
当0＜b＜1时，n→∞，xn也趋向于无穷大。
综上，当b＞1时，y＝f(x)的定义域为[0，b/(b－1))
当0＜b＜1时，y＝f(x)的定义域为[0，∞)
(Ⅲ)证明：首先证明当b＞1，1＜x＜b/(b－1)时恒有f(x)＞x成立，用数学归纳法证明。
(1)由(Ⅱ)知，当n＝1时，在(1，x2]上，y＝f(x)＝1＋b(x－1)
所以f(x)－x＝(x－1)(b－1)＞0成立
(2)假设n＝k时在(xk，xk＋1]上恒有f(x)＞x成立，
可得f(xk＋1)＝k＋1＞xk＋1
在(xk＋1，xk＋2]上，f(x)＝k＋1＋bk＋1(x－xk＋1)
所以f(x)－x＝k＋1＋bk＋1(x－xk＋1)－x
＝(bk＋1－1)(x－xk＋1)＋(k＋1－xk＋1)＞0也成立。
由(1)(2)知，对所有自然数n，在(xn，xn＋1]上都有f(x)＞x成立，
即1＜x＜b/(b－1)时，恒有f(x)＞x
其次，当b＜1，仿上述证明，可知当x＞1时，恒有f(x)＜x成立。
故函数y＝f(x)的图象与y＝x的图象没有横坐标大于1的交点。
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1999年高考数学(理)第23题小议