吴建国

图1

对第(1)问的分析与解答:

      “在u<u₀的情况下，微粒在第一个半周期内通过B孔” 这种可能性可以排除.用反证法：

       设“在u<u₀的情况下，微粒在第一个半周期内通过B孔”，那么M、N间的电场相当于恒定的电场，微粒进入A之前获得的电势能为qu,在M、N之间减少的电势能为qu₀,于是得到：微粒经过B点时动能为负值.而微粒经过B点时动能不可能为负值，所以假设的内容是不成立的.这就否定了“在u<u₀的情况下，微粒在第一个半周期内通过B孔”这种可能性.(这个观点跟“一道高考试题的讨论”不同.)

       如果微粒在第一个半周期内的某个时刻速度为零，那么从这个时刻开始会向左运动一段时间.

       如果微粒在经过半周期内一直向右运动(减速运动)，且经半周期时，速度大于零，那么在接下去的半周期中会继续向右运动(加速运动)，微粒一直是向右运动.

       可见，临界情况是微粒经半周期时，速度为零.下面就设法求出临界情况下u，u₀，d，T之间的关系，用u₀，d，T等表示出u,u的这个值就是u_c.

      微粒经过A时的速度v₀满足

(1/2)mv₀²=qu        (1)

减速运动加速度的大小a满足

a=qu₀/(md)                (2)

又 0-v₀=-a(T/2)         (3)

从(1)(2)(3)可得到：

u=qu₀²T²/(8md²)         (4)

所以                   u_c=qu₀²T²/(8md²)         (5)

       因为题目里规定u_c<u₀，

所以要使(5)式有意义，有关物理量必须满足

qu₀²T²/(8md²)<u₀

即                     qu₀T²<8md²                (6)

       从另一个途径也可以得到(6)式：

半周期内位移应小于d，即

(1/2)[qu₀/(md)](T/2)²<d               (7)

很明显由(7)式也能够导出(6)式.

      题目应默认(7)式成立，否则这个问题无解.

      结论：在qu₀T²<8md²情况下， 对于加速电压u存在着一个值u_c=qu₀²T²/(8md²)，当u≥u_c时，带电微粒能够沿一个方向运动，一直到从B孔射出.

      (在qu₀T²≥8md²情况下， 对于小于u₀的加速电压u，带电微粒总不能够沿一个方向运动，一直到从B孔射出.)

对第(2)问的分析与解答：

       临界情况是：经小于半周期的时间t(待求)时速度减小到零，然后向左加速运动，经半周期后，向左减速运动，在时刻(T-t)时，速度减小到零，且位于A点(图2).下面就要设法求出此临界情况下u，u₀，d，T之间的关系，用u₀，d，T等表示出u .

图2

       在计算之前需要进一步明确，u的这个值是怎样一个临界值：

      若加速电压u略小于这个值，在时刻(T-t)之前一会儿，微粒已经到达A点并有一点向左的速度，此后就不会向右运动，更谈不上最后到达B点；

      若加速电压u略大于这个值，则在时刻(T-t)后面一会儿，微粒在A点右边一点儿，速度减小到零，然后向右运动，最后可以到达B点，如图3所示.

      在u取临界值附近的数值时，不存在介于图2，图3两种运动情况之间的运动情况(比如“一道高考试题的讨论”文中图4表示的运动情况)。

图3：u略大于临界值情况下三个周期内的运动
本图青(红)色线条对应于图1青(红)色线条

         在临界情况下，有：

(1/2)at²=2×(1/2)a(T/2-t)²

得                     t=(2-2^1/2)T/2              (8)

又                       0-v₀=-at                 (9)

此外(1)(2)仍成立。

由(1)(2)(8)(9)可得

临界情况下       u=(1-2^1/2/2)²qu₀²T²/(2md²)

      仿照“对第(1)问的分析与解答”有关部分，可得出这个等式应附加一个条件(定义域).

      结论：在(1-2^1/2/2)²qu₀T²<2md²的情况下,加速电压u小于(1-2^1/2/2)²qu₀²T²/(2md²)时,带电微粒不能到达B点.

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